Các phương pháp tính định thức của ma trận | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

 

 

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $ A = { { ( { { a } _ { ij } } ) } _ { n \ times n } } $ khi đó $ { { A } _ { ij } } = { { ( – 1 ) } ^ { i + j } } { { M } _ { ij } }, USD với $ { { M } _ { ij } } $ là định thức nhận được từ định thức của ma trận $ A $ bằng cách bỏ đi dòng USD i USD và cột USD j USD được gọi là phần bù đại số của thành phần $ { { a } _ { ij } }. $

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 1}&m\\ 3&1&4&2\\ { – 3}&4&2&1\\ { – 1}&2&1&3 \end{array}} \right).$

Tính các phần bù đại số ${{A}_{11}},{{A}_{12}},{{A}_{13}},{{A}_{14}}.$

Giải. Ta có:

USD \ begin { array } { l } { A_ { 11 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 1 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 4 và 2 \ \ 4 và 2 và 1 \ \ 2 và 1 và 3 \ end { array } } \ right | = – 35 ; { A_ { 12 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 2 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 4 và 2 \ \ { – 3 } và 2 và 1 \ \ { – 1 } và 1 và 3 \ end { array } } \ right | = – 45 ; \ \ { A_ { 13 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 3 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 1 và 2 \ \ { – 3 } và 4 và 1 \ \ { – 1 } và 2 và 3 \ end { array } } \ right | = 34 ; { A_ { 14 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 4 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 1 và 4 \ \ { – 3 } và 4 và 2 \ \ { – 1 } và 2 và 1 \ end { array } } \ right | = 7. \ end { array } $

Công thức khai triển Laplace

Cho ma trận $ A = { { ( { { a } _ { ij } } ) } _ { n \ times n } } $ khi đó

$\det (A)={{a}_{i1}}{{A}_{i1}}+{{a}_{i2}}{{A}_{i2}}+…+{{a}_{in}}{{A}_{in}}\text{ }(i=1,2,…,n)$

đây là công thức khai triển định thức ma trận $ A $ theo dòng thứ USD i. $
$ \ det ( A ) = { { a } _ { 1 j } } { { A } _ { 1 j } } + { { a } _ { 2 j } } { { A } _ { 2 j } } + … + { { a } _ { nj } } { { A } _ { nj } } \ text { } ( j = 1,2, …, n ) USD
đây là công thức khai triển định thức ma trận $ A $ theo cộng thứ USD j. $

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 1}&m\\ 3&1&4&2\\ { – 3}&4&2&1\\ { – 1}&2&1&3 \end{array}} \right)$ theo công thức khai triển dòng 1.

Mọi Người Cũng Xem   Hướng dẫn tải Avatar Star trên máy tính, PC đơn giản

Giải. Có $\det (A)=1.{{A}_{11}}+2.{{A}_{12}}-1.{{A}_{13}}+m.{{A}_{14}},$ trong đó  

USD \ begin { array } { l } { A_ { 11 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 1 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 4 và 2 \ \ 4 và 2 và 1 \ \ 2 và 1 và 3 \ end { array } } \ right | = – 35 ; { A_ { 12 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 2 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 4 và 2 \ \ { – 3 } và 2 và 1 \ \ { – 1 } và 1 và 3 \ end { array } } \ right | = – 45 ; \ \ { A_ { 13 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 3 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 1 và 2 \ \ { – 3 } và 4 và 1 \ \ { – 1 } và 2 và 3 \ end { array } } \ right | = 34 ; { A_ { 14 } } = { ( – 1 ) ^ { 1 + 4 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 1 và 4 \ \ { – 3 } và 4 và 2 \ \ { – 1 } và 2 và 1 \ end { array } } \ right | = 7. \ end { array } $
Vậy $ \ det ( A ) = – 35 + 2. ( – 45 ) – 34 + 7 m = 7 m – 159. $

Ví dụ 2: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ { – 3}&1&5&1\\ { – 2}&5&0&0\\ 2&{ – 1}&3&{ – 1} \end{array}} \right|.$

Giải. Để ý dòng 3 của định thức có 2 phần tử bằng 0 nên khai triển theo dòng này sẽ chỉ có hai số hạng

Có \ [ \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 2 và 2 \ \ { – 3 } và 1 và 5 và 1 \ \ { – 2 } và 5 và 0 và 0 \ \ 2 và { – 1 } và 3 và { – 1 } \ end { array } } \ right | = – 2 { A_ { 31 } } + 5 { A_ { 32 } } = – 2 \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và 2 \ \ 1 và 5 và 1 \ \ { – 1 } và 3 và { – 1 } \ end { array } } \ right | + 5 \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và 2 \ \ { – 3 } và 5 và 1 \ \ 2 và 3 và { – 1 } \ end { array } } \ right | = – 2.8 + 5. ( – 48 ) = 224. \ ]

Ví dụ 3: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2&{ – m}\\ { – 2}&{ – 1}&2&1\\ 0&{ – 3}&4&2\\ 0&{ – 5}&1&1 \end{array}} \right|.$

Giải. Để ý cột 1 có 3 phần tử bằng 0 nên khai triển theo cột 1 ta có

\ [ \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 0 và 1 và 2 và { – m } \ \ { – 2 } và { – 1 } và 2 và 1 \ \ 0 và { – 3 } và 4 và 2 \ \ 0 và { – 5 } và 1 và 1 \ end { array } } \ right | = 0. { A_ { 11 } } – 2 { A_ { 21 } } + 0 { A_ { 31 } } + 0 { A_ { 41 } } = – 2 { A_ { 21 } } = – 2 { ( – 1 ) ^ { 2 + 1 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và { – m } \ \ { – 3 } và 4 và 2 \ \ { – 5 } và 1 và 1 \ end { array } } \ right | = – 34 m – 24. \ ]

Ví dụ 4: Tính định thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&4&1&2\\ { – m}&1&{ – 3}&1\\ 2&{ – 3}&1&4\\ { – 1}&2&1&3 \end{array}} \right|.\]

Giải. Để ý cột 3 có phần tử đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho định thức theo cột 3

Ví dụ 5: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}&4\\ { – 1}&3&1&{ – m}\\ 2&{ – 4}&3&1\\ { – 3}&2&1&2 \end{array}} \right|.$

Giải.

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}&4\\ { – 1}&3&1&{ – m}\\ { – 2}&{ – 2}&{ – 2}&{ – 2}\\ { – 3}&2&1&2 \end{array}} \right).$ Tính tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng 4 của ma trận $A.$

Mọi Người Cũng Xem   Kinh nghiệm: Kỹ thuật giải toán dãy số bằng máy tính casio

Xem thêm: Số 6 có ý nghĩa gì? Bật mí tất cả ý nghĩa số 6 một cách chi tiết nhất

Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A bởi $-2,$ ta được ma trận $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}&4\\ { – 1}&3&1&{ – m}\\ { – 2}&{ – 2}&{ – 2}&{ – 2}\\ { – 2}&{ – 2}&{ – 2}&{ – 2} \end{array}} \right)$ có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau.

Vậy $ \ det ( B ) = – 2 { { A } _ { 41 } } – 2 { { A } _ { 42 } } – 2 { { A } _ { 43 } } – 2 { { A } _ { 44 } } = 0 \ Leftrightarrow { { A } _ { 41 } } + { { A } _ { 42 } } + { { A } _ { 43 } } + { { A } _ { 44 } } = 0. $

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { – 2}&{ – 1}&4&1\\ 3&{ – 4}&{ – 5}&6\\ { – 4}&5&{ – 6}&7 \end{array}} \right).$ Tính ${{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}.$

Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A lần lượt bởi $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { – 2}&{ – 1}&4&1\\ 3&{ – 4}&{ – 5}&6\\ 1&2&3&4 \end{array}} \right)$ có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau

Vậy $ \ det ( B ) = 1 { { A } _ { 41 } } + 2 { { A } _ { 42 } } + 3 { { A } _ { 43 } } + 4 { { A } _ { 44 } } = 0 \ Leftrightarrow { { A } _ { 41 } } + 2 { { A } _ { 42 } } + 3 { { A } _ { 43 } } + 4 { { A } _ { 44 } } = 0. $

Ví dụ 8: Cho D là một định thức cấp n có tất cả các phần tử của một dòng thứ i bằng 1. Chứng minh rằng:

  1. Tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc mỗi dòng khác dòng thứ i đều bằng 0.
  2. Định thức D bằng tổng phần bù đại số của tất cả các phần tử của nó.

Ví dụ 9: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 2}&5&0&{ – 1}&3\\ 1&0&3&7&{ – 2}\\ 3&{ – 1}&0&5&{ – 5}\\ 2&6&{ – 4}&1&2\\ 0&{ – 3}&{ – 1}&2&3 \end{array}} \right|.$

Ví dụ 10: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&3&2&{ – 5}\\ 2&1&2&{ – 1}&3\\ 1&4&2&0&1\\ 3&5&2&3&3\\ 1&4&3&0&{ – 3} \end{array}} \right|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các thành phần nằm trên đường chéo chính
Thật vậy, so với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có :

Mọi Người Cũng Xem   Độ bục và độ nén thùng carton là gì? Cách kiểm tra đo lường?

so với ma trận tam giác dưới khai triển theo dòng 1 .

4. Tính định thức dựa trên các tính chất định thức, công thức khai triển Laplace và biến đổi về ma trận tam giác

Ví dụ 10: Tính định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{…}&b\\ b&a&{…}&b\\ {…}&{…}&{…}&{…}\\ b&b&{…}&a \end{array}} \right|.$

Giải. Ta có: 

USD \ begin { array } { l } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } a và b và { … } và b \ \ b và a và { … } và b \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ b và b và { … } và a \ end { array } } \ right | \ underline { \ underline { c2 + c3 + … + cn + c1 } } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { a + ( n – 1 ) b } và b và { … } và b \ \ { a + ( n – 1 ) b } và a và { … } và b \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ { a + ( n – 1 ) b } và b và { … } và a \ end { array } } \ right | \ \ = \ left ( { a + ( n – 1 ) b } \ right ) \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và b và { … } và b \ \ 1 và a và { … } và b \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ 1 và b và { … } và a \ end { array } } \ right | \ \ \ underline { \ underline { – { d_1 } + { d_i } } } \ left ( { a + ( n – 1 ) b } \ right ) \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và b và { … } và b \ \ 0 và { a – b } và { … } và b \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ 0 và 0 và { … } và { a – b } \ end { array } } \ right | = \ left ( { a + ( n – 1 ) b } \ right ) { ( b – b ) ^ { n – 1 } }. \ end { array } $

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH TM
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng nhà nước

– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH khác trên khắp cả nước …

Related Posts

About The Author

Add Comment