Phương pháp tính định thức – Tài liệu text

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản không thiếu của tài liệu tại đây ( 1.04 MB, 43 trang )

Ta có:

(cộng các dòng vào dòng 1)

(đưa thừa số chung [x+3] ra ngoài định thức)

(nhân dòng 1 với -1 cộng vào các dòng khác)

=

b) Tính định thức Vandermonde cấp 3:

Ta có:

Tương tự, định thức Vandermonde cấp 4:

Chương II. Ma trận

Định nghĩa

1. Định nghĩa ma trận

Một ma trận cấp m x n là một bảng gồm m x n số được sắp thành m dòng, n cột

theo một thứ tự nhất định.

Ma trận A cấp m x n được viết dưới dạng

aij là phần tử nằm trên dòng i, cột j của ma trận A.

Ta cũng ký hiệu (A)ij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.

Ví dụ:

thì (A)11 = 1, (A)12 = -2, (A)23 = 0

Hai ma trận A và B cấp m x n được gọi là bằng nhau nếu

(A)ij = (B)ij với mọi i = 1, …, m, j = 1, …, n.

2. Phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận

Cho A và B là hai ma trận m x n. Khi đó tổng của A và B là ma trận có cấp m x n

xác định bởi:

(A + B)ij = (A)ij + (B)ij với i = 1, …, m, j = 1, …, n

Như vậy tổng của hai ma trận là ma trận có các phần tử bằng tổng các phần tử

tương ứng của hai ma trận đã cho.

Cho ma trận A cấp m x n và số (A)ij. Khi đó ta gọi tích của A và λ là ma trận λA

có cấp m x n xác định bởi:

(λ A)ij = λ(A)ij với i = 1, …, m, j = 1, …, n

Như vậy muốn nhân một số với một ma trận, ta nhân số đó với tất cả các phần

tử của ma trận đó.

Ví dụ: Cho

Ta có

Ta gọi ma trận không cấp m x n, ký hiệu: 0 = 0m x n là ma trận cấp m x n có tất

cả phần tử đều bằng 0.

Ta có định lý sau:

Định lý 1: Cho A, B, C là các ma trận cấp m x n, λ, µ là các số. Khi đó:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

A + (B + C) = (A + B) + C;

A + B = B + A;

A + 0 = A;

A + (-1)A = 0;

1.A = A;

(λ +µ)A = λ A + µA;

λ (A + B) = λ A + λ B;

(λµ)A = λ (µA).

Sau này ta sẽ viết (-1)A = -A; A + (-B) = A – B và gọi A – B là A trừ B.

Mọi Người Cũng Xem   Cách tải hình ảnh về máy tính làm hình nền trên Windows, MacBook - https://hoasenhomes.vn

3. Phép nhân ma trận

Cho ma trận A cấp m x n, ma trận B cấp m x p xác định bởi:

Như vậy:

Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số dòng của B.

Phần tử (AB)ij bằng tổng các tích tương ứng của các phần tử nằm trên

dòng i của A và cột j của B.

Ví dụ:

Ma trận vuông cấp n được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I = In, nếu:

Như vậy ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên

đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử còn lại bằng 0.

Ví dụ:

Định lý 2:

1. Cho ma trận A cấp m x n. Khi đó

1. Cho ma trận A cấp m x n, B cấp n x p, C cấp p x q. Khi đó A(BC) = (AB)C

2. Cho ma trận A cấp m x n, B cấp n x p, và số λ. Khi đó: (λ A)B = A(λ B) = λ

(AB)

3. Cho ma trận A cấp m x n, B, C có cấp n x p. Khi đó: A (B + C) = AB + AC

4. Cho ma trận A, B cấp m x n, C cấp n x p. Khi đó: (A + B)C = AC + BC

4. Phép chuyển vị

Cho ma trận A cấp m x n. Khi đó ma trận chuyển vị của A là ma trận AT có cấp n

x m xác định bởi.

(AT)ij = (A)ji với i = 1, …, m, j = 1, …, n

Như vậy ma trận chuyển vị của A là ma trận nhận được từ A bằng cách đổi

dòng thành cột, đổi cột thành dòng.

Theo tính chất của định thức, ta có: det A = det AT nếu A là ma trận vuông.

Định lý sau đây cho ta một số tính chất khác.

Định lý 3:

1. Với mọi ma trận A ta có: (AT)T = A;

2. Với mọi ma trận A và B cùng cấp ta có: (A + B)T = AT + BT

3. Với mọi ma trận A cấp m x n, B cấp n x p ta có: (AB)T = BT AT

Ma trận vuông

1. Vài nhận xét

a) Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì các tích AB và BA cũng là ma trận

vuông cấp n, tuy nhiên nói chung AB ≠ BA.

Ví dụ:

thì

b) Có các ma trận A và B cấp n sao cho A ≠ 0, B ≠ 0 nhưng AB = BA = 0

Ví dụ:

Ta có

c) Trong tập hợp ma trận vuông cấp n có các phép toán cộng, nhân với số và

nhân. Phép nhân có phần tử đơn vị I = In. Với nó:

Mọi Người Cũng Xem   Giá treo màn hình máy tính, LCD nhỏ gọn 14-26inch

AI = IA = A

Với mọi ma trận vuông A cấp n. Ma trận I giống như số 1 trong phép nhân số.

d) Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì ta có

det(AB) = detA.detB

2. Ma trận đảo

Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho

AB = BA = I (1)

Ma trận B thỏa mãn (1) nếu có là duy nhất.

Thật vậy, nếu ma trận B’ cũng thỏa mãn: AB’ = B’A = I, thì B’ = B’I = B’(AB) =

(B’A)B = IB = B

Ma trận B thỏa mãn (1) gọi là ma trận đảo của A, ký hiệu là A-1. Như vậy ma

trận đảo của ma trận A nếu có là duy nhất và AA-1 = A-1A = I

Định lý 4: Nếu A và B là các ma trận khả đảo cấp n thì:

1.

2.

3.

4.

(A-1)-1 = A

(AT)-1 = (A-1)T

(AB)-1 = B-1.A-1

det (A). det (A-1) = 1

Ma trận đảo tìm được theo định lý sau đây:

Định lý 5:

1. Ma trận vuông A khả đảo ↔ det A ≠ 0

2. Nếu A khả đảo thì

(2)

Trong định lý này ta ký hiệu

là chuyển vị của ma trận có các phần tử là phần phụ của đại số của phần tử

tương ứng của ma trận A.

Ma trận vuông A có det A ≠ 0 còn gọi là không suy biến.

Ví dụ:

a) Theo công thức (2), nếu ad – bc ≠ 0 thì

b)

Ta có det A = 6 ≠ 0 nên A khả đảo. Ngoài ra

A11 = 4, A21 = -3, A31 = -5

A12 = 0, A22 = 3, A32 = 3

A13 = 2, A23 = 3, A33 = -1

Do đó theo (2)

Hạng của ma trận

1. Định nghĩa hạng của ma trận

Cho ma trận A cấp m x n. Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng, k cột của A

thì ta được một ma trận vuông con cấp k của A. Định thức của ma trận này gọi

là một định thức con cấp k của A.

Ta gọi hạng của ma trận A, ký hiệu rank A, là cấp cao nhất trong các định thức

con khác không của ma trận A.

Từ định nghĩa ta có: rank A ≤ min (m,n)

2. Cách tìm hạng

Ví dụ:

Nếu A = 0 thì rank A = 0

Nếu A ≠ 0 thì rank A ≥ 1. Cố định một phần tử khác không của A và xét tất

cả các định thức con cấp 2 của A chứa phần tử này.

Mọi Người Cũng Xem   Cách Ghi Sổ Đo Cao Độ Chênh Cao, Hướng Dẫn Đo Cao Độ Bằng Máy Thủy Bình

Nếu có một định thức khác không thì rank A ≥ 2. Nếu không thì ta kết luận

rank A = 1.

Trong trường hợp có một định thức con cấp 2 khác không, ta cố định định

thức này và xét tất cả các định thức con cấp ba chứa nó. Nếu có một định

thức khác không thì rank A ≥ 3. Nếu không thì ta kết luận rank A = 2.

Tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A.

a) Tìm hạng của ma trận:

Ta có

cấp 2 nói trên là.

nên rank A ≥ 2. Hai định thức con cấp 3 chứa định thức

Như vậy rank A ≥ 3, nhưng ma trận có 3 dòng nên rank A ≤ 3, từ đó rank A = 3.

b) Tìm hạng của ma trận

Ta có det A = 0 do đó rank A < 3. Ta lại có Vậy rank A = 2. nên rank A ≥ 2. Thông thường để tính hạng của ma trận vuông cấp 3 ta tiến hành như ví dụ b) trên đây, nếu det A ≠ 0 thì ta có ngay rank A = 3. 3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận Ta gọi các loại phép biến đổi sau đây là những phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận. • • • Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, còn những dòng khác giữ nguyên. Loại 2: Nhân một dòng với một số khác không, còn những dòng khác giữ nguyên. Loại 3: Cộng một dòng vào một dòng khác đã nhân với một số, còn những dòng khác giữ nguyên. Theo tính chất của định thức dễ dàng thấy rằng một ma trận vuông không suy biến thì sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của nó, ma trận mới vẫn không suy biến. Với ma trận suy biến cũng có tính chất tương tự. Từ điều vừa nhận xét, ta thấy ngay rằng hạng của một ma trận không thay đổi khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ma trận A cấp m x n gọi là các bậc thang nếu (A)ij với mọi i > j và (A)ik với mọi k

≤ j thì (A)i+1,k = 0 với mọi k ≤ j + 1. Trong đó i = 1, 2, …, m – 1; j = 1, 2 …, n –1

Related Posts

About The Author

Add Comment