Cách khai triển hằng đẳng thức bằng máy tính

 

XEM THÊM

1. ( A + B ) 2 = A2 + 2AB + B22. ( A – B ) 2 = A2 – 2AB + B23. A2 – B2 = ( A – B ). ( A + B )

4. (A + B)3 = A3 +3A2B +3AB2 +B3

5. ( A – B ) 3 = A3 – 3A2 B – 3AB2 – B36. A3 + B3 = ( A + B ). ( A2 – AB + B2 )7. A3 – B3 = ( A-B ). ( A2 + AB + B2 )

Chú ý: Các hàng đẳng thức (4) và (5) nhiều khi còn được viết dưới dạng sau:

( A + B ) 3 = A3 + B3 + 3AB. ( A + B )( A – B ) 3 = A3 – B3 – 3AB. ( A – B )

2 Bình phương một tổng N hạng tử:

3 Mở rộng( nhị thức newton)

Định lí này nằm trong đặc biệt đã được giảng dạy ở các trung học và mang tên là cácHằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ : nổi bật nhất là nhị thức là công thức bình phương củax + y(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!Hệ số nhị thức Open ở phép tiến hành này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các thông số có lũy thừa cao hơn củax + ytương ứng với các hàng sau của tam giác : \begin{align} (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align} Tam giác PascalChú ý rằng :

  1. x^0=1), giá trị bắt đầu là n (n trong(x+y)^n.)lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ( ), giá trị mở màn là n ( n trong. )
  2. y^0=1) cho tới khi đạt đến n (n trong(x+y)^n.)lũy thừa của y tăng lên khởi nguồn từ 0 ( ) cho tới khi đạt đến n ( n trong. )
  3. hàng nth của tam giác Pascal sẽ là các thông số của nhị thức lan rộng ra ( chú ý quan tâm rằng đỉnh là hàng 0 )
  4. 2^n.với mỗi hàng, tích số ( tổng của các thông số ) bằng
  5. n+1.với mỗi hàng, nhóm tích số bằng

Định lý nhị thức hoàn toàn có thể vận dụng với lũy thừa của bất kỳ nhị thức nào. Ví dụ :\begin{align} (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}Với một nhị thức có phép trừ, định lý hoàn toàn có thể được vận dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai .(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!

4.Bài tập:

16.Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;

a ) x2 + 2 x + 1 ; b ) 9×2 + y2 + 6 xy ;

c) 25a2+ 4b2 20ab; d) x2 x +.

Bài giải:

a ) x2 + 2 x + 1 = x2 + 2. x. 1 + 12= ( x + 1 ) 2b ) 9×2 + y2 + 6 xy = ( 3 x ) 2 + 2. 3. x. y + y2 = ( 3 x + y ) 2c ) 25 a2 + 4 b2 20 ab = ( 5 a ) 2 2. 5 a. 2 b + ( 2 b ) 2 = ( 5 a 2 b ) 2Hoặc 25 a2 + 4 b2 20 ab = ( 2 b ) 2 2. 2 b. 5 a + ( 5 a ) 2 = ( 2 b 5 a ) 2

d)x2 x += x2 2. x .+=

Hoặc x2 x +=- x + x2=– 2 .. x + x2=

17.Chứng minh rằng:

( 10 a + 5 ) 2 = 100 a. ( a + 1 ) + 25 .Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của 1 số ít tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5 .Áp dụng để tính : 252, 352, 652, 752 .

Mọi Người Cũng Xem   Viêm họng mạn tính dễ tái phát - Cách điều trị và phòng bệnh

Bài giải:

Ta có : ( 10 a + 5 ) 2 = ( 10 a ) 2 + 2. 10 a. 5 + 52= 100 a2 + 100 a + 25= 100 a ( a + 1 ) + 25 .Cách tính nhaame thông thường của một số ít tận cùng bằng chữ số 5 ;Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10 a + 5 và ta được( 10 a + 5 ) 2 = 100 a ( a + 1 ) + 25Vậy để tính bình phương của một số ít tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a ( a + 1 ) rồi viết 25 vào bên phải .Áp dụng ;- Để tính 252 ta tính 2 ( 2 + 1 ) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625 .- Để tính 352 ta tính 3 ( 3 + 1 ) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225 .- 652 = 4225- 752 = 5625 .

18. Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a ) x2 + 6 xy + = ( + 3 y ) 2 ;b ) … 10 xy + 25 y2 = ( – ) 2 ;Hãy nêu 1 số ít đề bài tương tự như .

Bài giải:

a ) x2 + 2. x. 3 y + = ( + 3 y ) 2×2 + 2. x. 3 y + ( 3 y ) 2 = ( x + 3 y ) 2Vậy : x2 + 6 xy + 9 y2 = ( x + 3 y ) 2b ) – 2. x. 5 y + ( 5 y ) 2 = ( – ) 2 ;x2 2. x. 5 y + ( 5 y ) 2 = ( x 5 y ) 2Vậy : x2 10 xy + 25 y2 = ( x 5 y ) 2Đề bài tương tự như : Chẳng hạn :4 x + 4 xy + = ( + y2 )- 8 xy + y2 = ( – ) 2

 

20. Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

x2 + 2 xy + 4 y2 = ( x + 2 y ) 2

Bài giải:

Nhận xét sự đúng, sai :Ta có : ( x + 2 y ) 2 = x2 + 2. x. 2 y + 4 y2= x2 + 4 xy + 4 y2Nên hiệu quả x2 + 2 xy + 4 y2 = ( x + 2 y ) 2 sai .

21. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a ) 9×2 6 x + 1 ; b ) ( 2 x + 3 y ) 2 + 2. ( 2 x + 3 y ) + 1 .Hãy nêu một đề bài tương tự như .

Bài giải:

a ) 9×2 6 x + 1 = ( 3 x ) 2 2. 3 x. 1 + 12 = ( 3 x 1 ) 2Hoặc 9×2 6 x + 1 = 1 6 x + 9×2 = ( 1 3 x ) 2b ) ( 2 x + 3 y ) = ( 2 x + 3 y ) 2 + 2. ( 2 x + 3 y ). 1 + 12= [ ( 2 x + 3 y ) + 1 ] 2= ( 2 x + 3 y + 1 ) 2Đề bài tựa như. Chẳng hạn :1 + 2 ( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) 24×2 12 x + 9

22. Tính nhanh:

a ) 1012 ; b ) 1992 ; c ) 47.53 .

Bài giải:

a ) 1012 = ( 100 + 1 ) 2 = 1002 + 2. 100 + 1 = 10201b ) 1992 = ( 200 1 ) 2 = 2002 2. 200 + 1 = 39601c ) 47.53 = ( 50 3 ) ( 50 + 3 ) = 502 32 = 2500 9 = 2491 .

23.Chứng minh rằng:

( a + b ) 2 = ( a b ) 2 + 4 ab ;( a b ) 2 = ( a + b ) 2 4 ab .Áp dụng :a ) Tính ( a b ) 2, biết a + b = 7 và a. b = 12 .b ) Tính ( a + b ) 2, biết a – b = 20 và a. b = 3 .

Bài giải:

a ) ( a + b ) 2 = ( a b ) 2 + 4 ab- Biến đổi vế trái 🙁 a + b ) 2 = a2 + 2 ab + b2 = a2 2 ab + b2 + 4 ab= ( a b ) 2 + 4 abVậy ( a + b ) 2 = ( a b ) 2 + 4 ab- Hoặc đổi khác vế phải 🙁 a b ) 2 + 4 ab = a2 2 ab + b2 + 4 ab = a2 + 2 ab + b2= ( a + b ) 2Vậy ( a + b ) 2 = ( a b ) 2 + 4 abb ) ( a b ) 2 = ( a + b ) 2 4 abBiến đổi vế phải 🙁 a + b ) 2 4 ab = a2 + 2 ab + b2 4 ab= a2 2 ab + b2 = ( a b ) 2Vậy ( a b ) 2 = ( a + b ) 2 4 abÁp dụng : Tính :a ) ( a b ) 2 = ( a + b ) 2 4 ab = 72 4. 12 = 49 48 = 1b ) ( a + b ) 2 = ( a b ) 2 + 4 ab = 202 + 4. 3 = 400 + 12 = 412

24.Tính giá trị của biểu thức 49×2 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:

a) x = 5; b) x =.

Bài giải:

49×2 70 x + 25 = ( 7 x ) 2 2. 7 x. 5 + 52 = ( 7 x 5 ) 2a ) Với x = 5 : ( 7. 5 5 ) 2 = ( 35 5 ) 2 = 302 = 900

b) Với x =: (7. 5)2= (1 5)2= (-4)2= 16

Bài 25. Tính:

a ) ( a + b + c ) 2 ; b ) ( a + b c ) 2 ;c ) ( a b c ) 2

Bài giải:

a ) ( a + b + c ) 2 = [ ( a + b ) + c ] 2 = ( a + b ) 2 + 2 ( a + b ) c + c2= a2 + 2 ab + b2 + 2 ac + 2 bc + c2= a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 bc + 2 ac .b ) ( a + b c ) 2 = [ ( a + b ) c ] 2 = ( a + b ) 2 – 2 ( a + b ) c + c2= a2 + 2 ab + b2 – 2 ac – 2 bc + c2= a2 + b2 + c2 + 2 ab – 2 bc – 2 ac .c ) ( a b c ) 2 = [ ( a b ) c ] 2 = ( a b ) 2 2 ( a b ) c + c2= a2 2 ab + b2 2 ac + 2 bc + c2= a2 + b2 + c2 2 ab + 2 bc 2 ac .

Mọi Người Cũng Xem   Cách tính tỷ lệ trong bản vẽ kiến trúc

Bài 26. Tính:

a ) ( 2×2 + 3 y ) 3 ; b ) ( x 3 ) 3

Bài giải:

a ) ( 2×2 + 3 y ) 3 = ( 2×2 ) 3 + 3 ( 2×2 ) 2. 3 y + 3. 2×2. ( 3 y ) 2 + ( 3 y ) 3

= 8×6+ 3. 4×4. 3y + 3. 2×2. 9y2+ 27y3

= 8×6 + 36×4 y + 54×2 y2 + 27 y3

b) (x 3)3=– 3. 3 + 3. 32- 33

=x3 3 .x2. 3 + 3 .x. 9 27

=x3x2+x – 27

Bài 27.Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a ) x3 + 3×2 3 x + 1 ;b ) 8 12 x + 6×2 x3 .

Bài giải:

a ) x3 + 3×2 3 x + 1 = 1 3. 12. x + 3. 1. x2 x3= ( 1 x ) 3b ) 8 12 x + 6×2 x3 = 23 3. 22. x + 3. 2. x2 x3= ( 2 x ) 3

Bài 28. Tính giá trị của biểu thức:

a ) x3 + 12×2 + 48 x + 64 tại x = 6 ;b ) x3 6×2 + 12 x – 8 tại x = 22 .

Bài giải:

a ) x3 + 12×2 + 48 x + 64 = x3 + 3. x2. 4 + 3. x. 42 + 43= ( x + 4 ) 3Với x = 6 : ( 6 + 4 ) 3 = 103 = 1000

b) x3 6×2+ 12x- 8 = x3 3. x2. 2 + 3. x. 22- 23
= (x 2)3

Với x = 22 : ( 22 2 ) 3 = 203 = 8000

Bài 29. Đố: Đức tính đáng quý.

Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biều thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người .x3 3×2 + 3 x 1 N16 + 8 x + x2 U3x2 + 3 x + 1 + x3 H1 2 y + y2 Â

Bài giải:

Ta có :N : x3 3×2 + 3 x 1 = x3 3. x2. 1 + 3. x. 12 13 = ( x 1 ) 3U : 16 + 8 x + x2 = 42 + 2. 4. x + x2 = ( 4 + x ) 2= ( x + 4 ) 2H : 3×2 + 3 x + 1 + x3 = x3 + 3×2 + 3 x + 1= ( x + 1 ) 3 = ( 1 + x ) 3Â : 1 2 y + y2 = 12 – 2. 1. y + y2 = ( 1 – y ) 2= ( y – 1 ) 2Vậy : Đức tính đáng quý là ” NHÂN HẬU “Chú ý :Có thế khai triển các biểu thức ( x 1 ) 3, ( x + 1 ) 3, ( y – 1 ) 2, ( x + 4 ) 2 … để tìm xem tác dụng ứng với chữ nào và điền vào bảng .

Bài 30.Rút gọn các biểu thức sau:

a ) ( x + 3 ) ( x2 3 x + 9 ) ( 54 + x3 )b ) ( 2 x + y ) ( 4×2 2 xy + y2 ) ( 2 x y ) ( 4×2 + 2 xy + y2 )

Bài giải:

a ) ( x + 3 ) ( x2 3 x + 9 ) ( 54 + x3 ) = ( x + 3 ) ( x2 3 x + 32 ) – ( 54 + x3 )= x3 + 33 – ( 54 + x3 )= x3 + 27 – 54 – x3= – 27b ) ( 2 x + y ) ( 4×2 2 xy + y2 ) ( 2 x y ) ( 4×2 + 2 xy + y2 )= ( 2 x + y ) [ ( 2 x ) 2 2. x. y + y2 ] ( 2 x y ) ( 2 x ) 2 + 2. x. y + y2 ]= [ ( 2 x ) 3 + y3 ] – [ ( 2 x ) 3 – y3 ]= ( 2 x ) 3 + y3 – ( 2 x ) 3 + y3 = 2 y3

Bài 31.Chứng minh rằng:

a ) a3 + b3 = ( a + b ) 3 3 ab ( a + b )b ) a3 b3 = ( a b ) 3 + 3 ab ( a b )Áp dụng : Tính a3 + b3, biết a. b = 6 và a + b = – 5

Bài giải:

a ) a3 + b3 = ( a + b ) 3 3 ab ( a + b )Thực hiện vế phải 🙁 a + b ) 3 3 ab ( a + b ) = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 3 a2b 3 ab2= a3 + b3Vậy a3 + b3 = ( a + b ) 3 3 ab ( a + b )b ) a3 b3 = ( a b ) 3 + 3 ab ( a b )Thực hiện vế phải 🙁 a b ) 3 + 3 ab ( a b ) = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3 + 3 a2b 3 ab2= a3 b3Vậy a3 b3 = ( a b ) 3 + 3 ab ( a b )Áp dụng :Với ab = 6, a + b = – 5, ta được :a3 + b3 = ( a + b ) 3 3 ab ( a + b ) = ( – 5 ) 3 – 3. 6. ( – 5 )= – 53 + 3. 6. 5 = – 125 + 90 = – 35 .

Mọi Người Cũng Xem   Cách tính thuế Giá trị gia tăng theo 2 phương pháp - Kế Toán YTho

Bài 32.Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

a) (3x + y)(+) = 27×3+ y3

b ) ( 2 x – ) ( + 10 x + ) = 8×3 – 125 .

Bài giải:

a ) Ta có :27×3 + y3 = ( 3 x ) 3 + y3 = ( 3 x + y ) [ ( 3 x ) 2 3 x. y + y2 ] = ( 3 x + y ) ( 9×2 3 xy + y2 )Nên : ( 3 x + y ) ( 9×2 – 3 xy + y2 ) = 27×3 + y3b ) Ta có : 8×3 – 125 = ( 2 x ) 3 – 53 = ( 2 x – 5 ) [ ( 2 x ) 2 + 2 x. 5 + 52 ]= ( 2 x – 5 ) ( 4×2 + 10 x + 25 )Nên : ( 2 x – 5 ) ( 4×2 + 10 x + 25 ) = 8×3 – 125

Bài 33. Tính:

a ) ( 2 + xy ) 2 b ) ( 5 3 x ) 2c ) ( 5 x2 ) ( 5 + x2 ) d ) ( 5 x 1 ) 3e ) ( 2 x y ) ( 4×2 + 2 xy + y2 ) f ) ( x + 3 ) ( x2 3 x + 9 )

Bài giải:

a ) ( 2 + xy ) 2 = 22 + 2. 2. xy + ( xy ) 2 = 4 + 4 xy + x2y2b ) ( 5 3 x ) 2 = 52 2. 5. 3 x + ( 3 x ) 2 = 25 30 x + 9x2c ) ( 5 x2 ) ( 5 + x2 ) = 52 ( x2 ) 2 = 25 x4d ) ( 5 x 1 ) 3 = ( 5 x ) 3 3. ( 5 x ) 2. 1 + 3. 5 x. 12 13 = 125×3 75×2 + 15 x 1e ) ( 2 x y ) ( 4×2 + 2 xy + y2 ) = ( 2 x y ) [ ( 2 x ) 2 + 2 x. y + y2 ] = ( 2 x ) 3 y3 = 8×3 y3f ) ( x + 3 ) ( x2 3 x + 9 ) = ( x + 3 ) ( x2 3 x + 32 ) = x3 + 33 = x3 + 27 .

Bài 34. Rút gọn các biểu thực sau:

a ) ( a + b ) 2 ( a b ) 2 ; b ) ( a + b ) 3 ( a b ) 3 2 b3c ) ( x + y + z ) 2 2 ( x + y + z ) ( x + y ) + ( x + y ) 2

Bài giải:

a ) ( a + b ) 2 ( a b ) 2 = ( a2 + 2 ab + b2 ) ( a2 2 ab + b2 )= a2 + 2 ab + b2 a2 + 2 ab – b2 = 4 abHoặc ( a + b ) 2 ( a b ) 2 = [ ( a + b ) + ( a b ) ] [ ( a + b ) ( a b ) ]= ( a + b + a b ) ( a + b a + b )= 2 a. 2 b = 4 abb ) ( a + b ) 3 ( a b ) 3 2 b3= ( a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 ) ( a3 3 a2b + 3 ab2 b3 ) 2 b3= a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 a3 + 3 a2b – 3 ab2 + b3 2 b3= 6 a2bHoặc ( a + b ) 3 ( a b ) 3 2 b3 = [ ( a + b ) 3 ( a b ) 3 ] 2 b3= [ ( a + b ) ( a b ) ] [ ( a + b ) 2 + ( a + b ) ( a b ) + ( a b ) 2 ] 2 b3= ( a + b a + b ) ( a2 + 2 ab + b2 + a2 b2 + a2 2 ab + b2 ) 2 b3= 2 b. ( 3 a2 + b2 ) 2 b3 = 6 a2b + 2 b3 2 b3 = 6 a2bc ) ( x + y + z ) 2 2 ( x + y + z ) ( x + y ) + ( x + y ) 2= x2 + y2 + z2 + 2 xy + 2 yz + 2 xz 2 ( x2 + xy + yx + y2 + zx + zy ) + x2 + 2 xy + y2= 2×2 + 2 y2 + z2 + 4 xy + 2 yz + 2 xz 2×2 4 xy 2 y2 2 xz 2 yz = z2

Bài 35. Tính nhanh:

a ) 342 + 662 + 68. 66 ; b ) 742 + 242 48. 74 .

Bài giải:

a ) 342 + 662 + 68. 66 = 342 + 2. 34. 66 + 662 = ( 34 + 66 ) 2 = 1002 = 10000 .b ) 742 + 242 48. 74 = 742 – 2. 74. 24 + 242 = ( 74 – 24 ) 2= 502 = 2500

Bài 36.Tính giá trị của biểu thức:

a ) x2 + 4 x + 4 tại x = 98 ; b ) x3 + 3×2 + 3 x + 1 tại x = 99

Bài giải:

a ) x2 + 4 x + 4 = x2 + 2. x. 2 + 22 = ( x + 2 ) 2Với x = 98 : ( 98 + 2 ) 2 = 1002 = 10000b ) x3 + 3×2 + 3 x + 1 = x3 + 3. 1. x2 + 3. x. 12 + 13 = ( x + 1 ) 3Với x = 99 : ( 99 + 1 ) 3 = 1003 = 1000000

Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau:

a ) ( a b ) 3 = – ( b a ) 3 ; b ) ( – a b ) 2 = ( a + b ) 2

Bài giải:

a ) ( a b ) 3 = – ( b a ) 3Biến đổi vế phải thành vế trái :- ( b a ) 3 = – ( b3 3 b2a + 3 ba2 a3 ) = – b3 + 3 b2a – 3 ba2 + a3= a3 3 a2b + 3 ab2 b3 = ( a b ) 3Sử dụng đặc thù hai số đối nhau 🙁 a b ) 3 = [ ( – 1 ) ( b a ) ] 3 = ( – 1 ) 3 ( b a ) 3 = – 13. ( b a ) 3 = – ( b a ) 3b ) ( – a b ) 2 = ( a + b ) 2Biến đổi vế trái thành vế phải 🙁 – a b ) 2 = [ ( – a ) + ( – b ) ] 2

= (-a)2 +2. (-a). (-b) + (-b)2

= a2 + 2 ab + b2 = ( a + b ) 2Sử dụng đặc thù hai số đối nhau 🙁 – a b ) 2 = [ ( – 1 ). ( a + b ) ] 2 = ( – 1 ) 2. ( a + b ) 2 = 1. ( a + b ) 2 = ( a + b ) 2

Related Posts

About The Author

Add Comment