công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song – toán 10

Mục lục bài viết

  1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy
    1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1
    2. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2
  2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz
  3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài viết khoảng cách giữa 2 đường thẳng bao gồm: công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian

Nội dung chính

  • Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy
  • Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1
  • Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2
  • Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz
  • Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
  • Video liên quan

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy

Cho 2 đường thẳng chéo nhau:
d1đi qua A có 1 VTCP\overrightarrow{u_1}

d2đi qua B có 1 VTCP\overrightarrow{u_2}

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1

\[d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{d_1}} } \right]} \right|}}\[\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|\]

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2

\[d({d_1},{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{d_1}} ,\overrightarrow {{d_2}} } \right]\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{d_1}} ,\overrightarrow {{d_2}} } \right]} \right|}}\]

Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng {d_1}:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4},\,{d_2}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Mọi Người Cũng Xem   2 cách bật chế độ online, treo nick trên Facebook 24/24 | https://hoasenhomes.vn

Ta thuận tiện kiểm tra được d1 và d2là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kể thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2 .

Gọi M( - 7;5;9) \in {d_1}, H(0; - 4; - 18) \in {d_2}.

Ta có :

\overrightarrow {MH} = \left( {7; - 9; - 27} \right)

VTCP\,{d_2}:\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {3; - 1;4} \right)\,

\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MH} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 63; - 109;20)

Vậy: d({d_1};{d_2}) = d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right|}} = 25

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

Cách 1:
\Delta _1đi qua M1. có 1 VTCP\overrightarrow{u_1}
\Delta _2đi qua M2. có 1 VTCP\overrightarrow{u_2}
d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Cách 2:
AB là đoạn vuông góc chung\Delta _1,\Delta _2
A\in \Delta _1, B\in \Delta _2
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.
d(\Delta _1;\Delta _2)=AB

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Ví dụ:

Cho(d_1)\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3+3t \end{matrix}\right.(d_2)\left\{\begin{matrix} x=2+u\\ y=-3+2u\\ z=1+3u \end{matrix}\right.
a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Tính d(d1;d2)

Lời giải:
a)
d1 đi qua M1(1;2;-3), có 1 VTCP\overrightarrow{u_1}=(2;1;3)
d2đi qua M2(2;-3;1), có 1 VTCP\overrightarrow{u_2}=(1;2;3)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 1 \ \ 3\\ 2 \ \ 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 \ \ 2\\ 3 \ \ 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ 1\\ 1 \ \ 2 \end{vmatrix} \right )\\=(-3;-3;3)
\overrightarrow{M_1M_2}=(1;-5;4)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= -3.1+(-3)(-5)+3.4\\=24\neq 0
Vậy d1, d2 chéo nhau
b)
Cách 1:
d(d_1;d_2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}.\overrightarrow{M_1M_2 }] \right |}{\left | \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right |}\\= \frac{24}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}}=\frac{24}{3\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}
=\frac{8\sqrt{3}}{3}
Cách 2:
A(1+2t;2+t;-3+3t)\in d_1
B(2+u;-3+2u;1+3u)\in d_2
AB là đoạn vuông góc chung
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t\\ u \end{matrix}\right.
AB = d(d1;d2)

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó d\left( {a,b} \right) = MN. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng và song song với. Khi đó d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: và vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa và vuông góc với tại I.
  • Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJ \bot \Delta '.
Mọi Người Cũng Xem   Tính ngày dự sinh theo ngày quan hệ: Chính Xác Hay Không? - Mamamy

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(\Delta ,\Delta ') = IJ.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Trường hợp 2: và chéo nhau mà không vuông góc với nhau

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa và song song với .
  • Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của xuống (α) bằng cách lấy điểm M \in \Delta dựng đoạn MN \bot \left( \alpha \right), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với .
  • Bước 3: Gọi H = d \cap \Delta ', dựng HK\parallel MN

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(\Delta ,\Delta ') = HK = MN.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Hoặc

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (\alpha ) \bot \Delta tại I.
  • Bước 2: Tìm hình chiếu d của xuống mặt phẳng (α).
  • Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ \bot d, từ J dựng đường thẳng song song với cắt tại H, từ H dựng HM\parallel IJ.

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(\Delta ,\Delta ') = HM = IJ.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương \overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} thì OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right..
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

4.4 / 5

(

8 bầu chọn)

Video liên quan

Related Posts

About The Author

Add Comment